Інформатика і математика

ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ ОДНИМ ЦИРКУЛЕМ

Робота містить 42 сторінки, список використаних джерел нараховує 25 джерел, 31 рис., наведено 18 задач на побудову, способи їх розв’язанння, в додатку розшифровано символи і позначення, що використовуються в курсовій.

В роботі представлено доведення основної теореми можливості вирішення геометричних завдань на побудову одним тільки циркулем.Наведено рішення деяких цікавих задач з геометрії циркуля та їх доведення, розроблених в працях Мора, Маськероні і Адлера: побудова прямої, що перпендикулярна до заданого відрізка АВ і проходить через один з його кінців; побудова відрізка, в n разів, в 2n  разів меншого та 3n раз більшого за даний відрізок АВ (де – n=1,2,3….); розділення відрізка АВ на три рівні частини; побудова центру накресленого кола. Охарактеризовано метод інверсії Адлера, який встановлює загальний спосіб розв’язання задач на побудову в геометрії циркуля. Встановлено практичні можливості застосування інверсії в геометричних побудовах за допомогою одного циркуля: побудова точки X, інверсної даній точці С щодо кола інверсії (О, r); побудова кола, інверсного прямій АВ, що не проходить через центр інверсії; побудова прямої АВ, інверсної даному колу (О1, R), що проходить через центр інверсії О; побудова кола, що не проходить через центр інверсії О, побудова кола навколо даного трикутника ABC. Об’єкт дослідження: геометричні побудови.Предмет: – геометрія циркуля. Мета:  охарактеризувати теоретичні основи та практичні задачі на геометричні побудови одним циркулем.

ЗМІСТ


ВСТУП
РОЗДІЛ 1.
 Можливість вирішення геометричних завдань на побудову одним тільки циркулем
1.1. Основна теорема
1.2. Вирішення геометричних завдань на побудову одним циркулем
РОЗДІЛ 2. Інверсія і геометрія циркуля
2.1. Основні властивості інверсії
2.2. Застосування методу інверсії в геометричних побудовах за допомогою одного  циркуля
ВИСНОВКИ
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
ДОДАТОК


РОЗДІЛ І. Можливість вирішення геометричних завдань та побудова одним тільки циркулем

1.1. Основна теорема

У геометрії циркуля пряма лінія або відрізок визначається двома точками, а не задається у вигляді безперервної прямої лінії (проведеною за допомогою лінійки). Побудова прямої лінії вважається закінченою, як тільки побудовані дві будь-які її точки.[22]
Введемо позначення:
(АВ) — пряма лінія, що проходить через дві точки А і В;
[АВ] — відрізок АВ;
|АB| — відстань між точками А і В;
(О, r) — коло (або круг) з центром О і радіусом r;
(А, |ВC|) — коло (або круг) з центром А і радіусом r=|ВC| .[4]
Умовимося надалі фразу «З точки О, як з центру, радіусом r проводимо коло (або креслимо дугу)» для скорочення записувати так: «Проводимо (описуємо, або креслимо) коло (О, r)», а іноді ще коротше: «Проводимо (О, r)». Фразу «Відрізок АВ, де |АB|=а» умовимося вважати рівнозначній фразі «Відрізок а» і, відповідно до цього, говорити, наприклад, що відрізок CD в п разів більше відрізка АВ, якщо |CD|=n|AB|.
Інші символи і позначення шкільного курсу математики, використовувані в даній роботі, приведені в [1] і в Додатку.
Задача 1. Побудувати точку, симетричну даній точці С щодо даної прямої АВ.
Дано: (АВ) і точка С. Побудувати: C1=S(AB)(C).
Побудова. Проводимо кола (А, |АС|) і (В, |ВС|), які перетнуться в точці С, (рис. 1), Точка C1 — шукана.
Рис. 1.
Якщо точка С лежить на прямій АВ, то вона сама собі симетрична (тобто C=S(АВ)(C)).
Примітка. Щоб визначити, чи лежать три дані точки А, В і X на одній прямій лінії, потрібно зовні прямою АВ узяти довільну точку і побудувати симетричну їй точку С1. Очевидно, точка X лежить на прямій АВ тоді і тільки тоді, коли |CX| = |С1X|. .[11]
Задача 2. Побудувати відрізок, в 2, 3, 4….. і взагалі в п разів більший даного відрізка АА1| (п — будь-яке натуральне число, тобто п є N).
Дано: |АА1|=r. Побудувати: [ААn], |ААn|=n|АА1|, де п є N.
Побудова (1-й спосіб). Побудова здійснюється постійним розхилом ніжок циркуля, рівним r. Проводимо коло (А1, r) і визначаємо на ньому точку А2, діаметрально протилежну точці А (для чого послідовно проводимо кола (А, r), (В, r) і (С, r); у перетині цих кіл з колом (А1, r) послідовно отримаємо точки В, С і А2. Відрізок |AА2|=2r (рис. 2).
Проводимо потім коло (А2, r) яке перетне коло (C, r) в точці D. У перетині раніше проведеного кола (А2, r) з (D, r) отримаємо точку А3. Відрізок |AА3|=3r і так далі.
Виконавши приведену побудову п разів, побудуємо відрізок |AАn|=nr.
Справедливість побудови виходить з того, що циркуль з розхилом, рівним радіусу кола, ділить її на шість рівних частин..[15]
Побудова (2-й спосіб). Беремо зовні прямою АА1 довільну точку В і проводимо кола (A1, |AB|) і (B, r), в перетині яких отримаємо точку C (рис. 3). Якщо тепер описати кола (А1, r) і (C, |A1B|), то вони перетнуться в шуканій точці А2. Відрізок |AA2| =2r. Проводимо кола (А2, r)

Рис. 2.                        Рис. 3.
і (С, |A2B|) і позначаємо точку A3 їх перетину. Тут |AA3| =3r і так далі.
Справедливість побудови виходить з того, що фігури ABCA1, A1BCA2, A2BCA3,  … є паралелограмами.
Примітка. Аналогічно легко побудувати відрізки в 2, 4, 8, 16 …, 2k разів більше даного відрізка AA1. Для цього проводимо кола (A1, r) і знаходимо точку A2, діаметрально протилежну точці А (|AA2|=2r) описуємо коло (А2, 2r) і будуємо точку A4, діаметрально протилежну точці А (|AA4|=4r). Діаметрально протилежна точка A8 точці А на колі (A4, 4r) визначить |AA8|=8r і так далі. Після k кроків отримаємо |AA2k |=2kr..[20]
Задача 3. Побудувати відрізок, четвертий пропорційний до трьох даних відрізків a, b, c.
Дано: a, b, c — відрізки. Побудувати відрізок х такий, щоб a:b=c:x.
Побудова (1-й спосіб). Беремо довільну точку O і проводимо кола (O, а) і (O, b). З довільної точки А на колі (O, а) описуємо (А, c) і відзначаємо точку В перетини її з колом (O, а). Якщо тепер провести два кола (A, d) і (B, d) довільного радіусу d>|a—b|, що перетинають (O, b) в точках А1, і В1 тo відрізок х=|A1B1| – шуканий (рис.4).

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *